fractales

Fractale. n.f. Configuration fractale. Ensemble ou objet fractal.

voir : Mandelbrot : Les objets fractals (Flammarion)

Quelle définition pour les fractales ?

Mandelbrot insiste dans son livre sur le fait qu'il ne donnera qu'une définition empirique des fractales, aucune définition abstraite n'étant entièrement satisfaisante. Par exemple on dit que les fractales sont des objets à dimension fractionnaire (Mandelbrot lui-même a utilisé cette définition à certaines époques, et il dit, dans son entretien publié dans La Recherche, que le terme fractale a été choisi pour évoquer fractionnaire). Mais ceci est doublement faux. D'une part cette dimension peut être un nombre irrationnel ; d'autre part elle peut être un entier. Par exemple la dimension de la frontière de M est 2, tout comme les trajectoires browniennes (avec toutefois une différence importante : l'ensemble de Mandelbrot est contenu dans le plan et les trajectoires browniennes se développent dans un espace à 3 dimensions).

Une définition moins mauvaise serait de dire que les fractales sont des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch (ou autre) est supérieure à la dimension topologique (euclidienne), mais il paraît, d'après Mandelbrot, que ceci exclut quelques objets qui sont réellement fractals. Reste la notion d'homothétie interne.

Bibliographie Gleick J. - La théorie du chaos (1989 Albin Michel, 1991 Flammarion, pour la traduction française) Mandelbrot B. - Comment j'ai découvert les fractales (La Recherche n° 175, 420-427, 1986) Mandelbrot B. - Les objets fractals. Forme, hasard, dimension (Flammarion, 1989 pour la 3ème édition) Groupe de news sci.fractals. Articles divers Michael C. Taylor - sci.fractals FAQ

On obtient une image fractale en partant d'un objet graphique auquel on applique une certaine transformation qui ajoute un élément de complexité, puis en appliquant la même transformation au nouvel objet ainsi obtenu, ce qui accroît encore sa complexité... et en recommençant à l'infini ce processus d'itération.

Bien entendu toutes les itérations n'engendrent pas des fractales. Prenons un segment de droite et effaçons-en une moitié, puis appliquons au demi-segment résultant la même opération : il est évident que pour un nombre d'itérations infini la figure tend vers un point. Rien de très passionnant. Si en revanche on prélève à ce segment son 1/3 central, puis qu'à chacun des deux segments résultants on enlève à nouveau leur 1/3 central, etc. on tend vers une figure, certes peu spectaculaire, mais dotée de propriétés mathématiques curieuses : la poussière de Cantor.

En effet, imaginons qu'on « zoome » dans cette figure avec une loupe puis un microscope à des grossissements de plus en plus puissants. Quel que soit le grossissement on observera la même structure. On sera donc incapable, sur un détail, de décider quel est le grossissement auquel la poussière de Cantor aura été observée . Première propriété d'une image fractale : l'auto-similarité, ou invariance d'échelle.

Mandelbrot a étudié par quel procédé arithmétique on peut créer une poussière de Cantor aléatoire décrivant parfaitement la structure fractale des rafales d'erreurs sur les lignes informatiques.

Fractales sur le Web

Spanky fractal database. Par Noel Giffin. Un des sites les plus célèbres.

Sprott's Fractal Gallery. Un autre serveur très célèbre.

PGD's Fractal Gallery. Images et formules de Paul Derbyshire.

Ultra Fractal tutorials. Par Janet Parke Preslar (une référence).

Fractals on the Internet. Listes de serveurs, page de la Chaffey High School.

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